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Ganzrationale Funktion 3. Grades bestimmen, Schnittpunkt mit Parabel, Tangentengleichung

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Der Graph einer ganzrationalen Funktion f  3. Grades besitzt den Hochpunkt H (2/0), schneidet die y-Achse im Punkt  (0/-4) und hat an der Stelle x=-1 einen Wendepunkt.

a. Bestimmen Sie den Funktionsterm

b.Bestimmen Sie die Extrem- und Wendepunkte

c.Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale im Wendepunkt

d. Zeichnen Sie den Graphen Gf im Bereich -3 ≤ x ≤ 2

e. Gegeben ist die Parabel g(x)= x^2-4x+5. Berechnen Sie den Schnittpunkt von f und g

f.Vom Punkt ( 1/-2) aus, können zwei Tangenten an den Graphen von g gelegt werden. Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte u1 und u2 und geben sie die  Tangentengleichungen an.
Gefragt 10 Dez 2012 von Gast ii686
Wievielten Grades soll f denn sein?
uups soory 3. Grades!
Hab's eingefügt und das Doppel geschlossen. Hat vermutlich keine anderen Änderungen?
Nein keine Änderungen. Brauche dringend Hilfe. Wäre echt super wenn du mir helfen könntest!

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f  3. Grades besitzt den Hochpunkt H (2/0), schneidet die y-Achse im Punkt  (0/-4) und hat an der Stelle x=-1 einen Wendepunkt.

a. Bestimmen Sie den Funktionsterm

y = ax^3 + bx^2 + cx + d

Wegen (0/-4) gilt d = -4

y = ax^3 + bx^2 + cx - 4

Wendestelle bei -1. Dort y'' = 0

y' = 3ax^2 + 2bx + c 

y'' = 6ax + 2b     -------> 0 = -6a + 2b ------> 6a = 2b -----> 3a = b

einsetzen -----> nur noch a und c unbekannt.

 

y' = 3ax^2 + 6ax + c 

y = ax^3 + 3ax^2 + cx -4 

H(2/0)

y' --->0= 3a2^2 + 6a*2 + c  ---------> 0 = 12a + 12a +c ----------> c = - 24a

y----> 0 = 8a + 12 a + 2c - 4

          0 = 8a + 12 a + 2(-24a) - 4

          0 = 20a - 48a - 4

        0 = - 28a - 4

          a = -1/7

           c= 24/7

          b = -3/7

          d = -4

y = -1/7 x^3 - 3/7 x^2 + 24/7 x - 4

Kontrolle Graph: blaue Kurve scheint den Angaben zu entsprechen. Die rote Kurve von g schneidet dann die blaue irgendwo links oben.

f und g

 

2 Antworten

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b) Hochpunkt in (2/0)

Wendestelle in -1. Wendepunkt: W (-1|-54/7) d.h. W(-1/ -7.714)

Tiefpunkt aus Symmetriegründen nochmals 3 Einheiten nach links: also in x = -4

T(-4| -108/7) d.h. T(-4/ 15.429)

 

c) Wendetangente und Normale

y = -1/7 x^3 - 3/7 x^2 + 24/7 x - 4

y' = -3/7 x^2 - 6/7 x + 24/7

x = - 1 einsetzen

y' = -3/7 + 6/7 + 24/7 = 27/7

t: y = 27/7 x + q           durch W(-1/ - 54/7)

     - 54/7 = - 27/7 + q

      -27/7 = q

     y = 27/7 x - 27/7

Normale n: y = -7/27 x + q         durch W(-1/ - 54/7)

-54/7 = 7/27 + q

-7.935 = q

y = - 7/27 x  - 7.935

 

 

Wendetangente

 

Anmerkung: Mathecoach ist inzwischen fertig. du brauchst das ja nicht doppelt.

Beantwortet 10 Dez 2012 von Lu Experte XLVIII
0 Punkte

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f  3. Grades besitzt den Hochpunkt H (2/0), schneidet die y-Achse im Punkt  (0/-4) und hat an der Stelle x=-1 einen Wendepunkt.

a. Bestimmen Sie den Funktionsterm

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f(2) = 0
8·a + 4·b + 2·c + d = 0

f'(2) = 0
12·a + 4·b + c = 0

f(0) = -4
d = -4

f''(-1) = 0
2·b - 6·a = 0

Das LGS liefert die Lösung a = - 1/7 ∧ b = - 3/7 ∧ c = 24/7 ∧ d = -4

f(x) = -1/7x^3 - 3/7x^2 + 24/7x - 4

b.Bestimmen Sie die Extrem- und Wendepunkte

Extrempunkte f'(x) = 0
- 3·x^2/7 - 6·x/7 + 24/7 = 0
Lösung über abc-Formel bei x = -4 ∨ x = 2

f(-4) = -108/7 = -15.42857142

f(2) = 0

Damit ist der Tiefpunkt bei (-4 | -15,4) und der Hochpunkt (2 | 0).

Wendepunkt f''(x) = 0
- 6·x/7 - 6/7 = 0
x = -1

f(-1) = -54/7 = -7,7

Damit ist der Wendepunkt bei (-1 | -7,7)


c.Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale im Wendepunkt

f'(-1) = 27/7

t(x) = 27/7 * (x + 1) - 54/7

n(x) = -7/27 * (x + 1) - 54/7

d. Zeichnen Sie den Graphen Gf im Bereich -3 ≤ x ≤ 2


e. Gegeben ist die Parabel g(x)= x^2-4x+5. Berechnen Sie den Schnittpunkt von f und g

-1/7x^3 - 3/7x^2 + 24/7x - 4 = x^2 - 4x + 5

Über ein Näherungsverfahren finden wir eine Lösung bei x = -14.02725084.

f(-14.02725084) = 257.8727693

g(-14.02725084) = 257.8727694

Schnittpunkt ist bei (-14,0 | 257,9)

f

. Vom Punkt ( 1/-2) aus, können zwei Tangenten an den Graphen von g gelegt werden. Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte u1 und u2 und geben sie die  Tangentengleichungen an.

(g(x) - (-2)) / (x - 1) = g'(x)
(x^2 - 4·x + 7)/(x - 1) = 2·x - 4

Wir finden hier eine Lösungen bei x = 3 ∨ x = -1

g(3) = 2
g'(3) = 2

g(-1) = 10
g'(-1) = -6

Die Berührpunkte liegen bei (3 | 2) und (-1 | 10)

Die Tangentengleichungen lauten

t1(x) = 2*(x - 3) + 2

 

t2(x) = -6*(x + 1) + 10

Hier noch eine Skizze:

 

Beantwortet 10 Dez 2012 von Der_Mathecoach Experte XCII

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