Ohne Registrierung möglich: Stell deine Frage oder Beantworte eine Frage
Gute-Mathe-Fragen ist das derzeit beste Mathe-Forum für Schüler und Studenten. Hier findet ihr eine motivierte Community, die eure Probleme schnell löst und eure Fragen verständlich beantwortet! Erspart euch viele Stunden der Nachhilfe und nutzt das kostenlose Matheforum, um eure schwierige Mathematik-Aufgabe einfach lösen zu lassen! Probleme bei Hausaufgaben? Wir helfen kostenlos! Wir sind die Mathe-Fragenbeantworter im Netz!

DGL 2. Ordnung lösen y'' -2.5y' +y = e^(-3x)

183 Aufrufe
0 Punkte
y'' -2.5y' +y = e^(-3x)


ich komm hier auf eine Lösung von:

y = c1 * e^(2x) + c2 * e^(0,5x)


die richtige lösung sollte jedoch lauten:

y = c1 * e^(2x) + c2 * e^(0,5x) + 0,0571429* e^(-3x)
Gefragt 3 Jun 2013 von elisa

2 Antworten

0 Punkte

Wolfram-Alfa liefert eine Schritt für Schritt 

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27-2.5y%27%2By%3De%5E%28-3x%29

Bei Wolfram-Alpha ist das allerdings schöner dargestellt als hier.

Solve ( d^2 y(x))/( dx^2)+y(x)-2.5 ( dy(x))/( dx) = e^(-3 x):The general solution will be the sum of the complementary solution and particular solution.Find the complementary solution by solving ( d^2 y(x))/( dx^2)-2.5 ( dy(x))/( dx)+y(x)  =  0:Assume a solution will be proportional to e^(lambda x) for some constant lambda.Substitute y(x)  =  e^(lambda x) into the differential equation:( d^2 )/( dx^2)(e^(lambda x))-2.5 ( d)/( dx)(e^(lambda x))+e^(lambda x)  =  0Substitute ( d^2 )/( dx^2)(e^(lambda x))  =  lambda^2 e^(lambda x) and ( d)/( dx)(e^(lambda x))  =  lambda e^(lambda x):1. lambda^2 e^(lambda x)-2.5 lambda e^(lambda x)+1. e^(lambda x)  =  0Factor out e^(lambda x):(1. lambda^2-2.5 lambda+1.) e^(lambda x)  =  0Since e^(x lambda) !=0 for any finite lambda, the zeros must come from the polynomial:1. lambda^2-2.5 lambda+1.  =  0Factor:1. (1. lambda-2.) (1. lambda-0.5)  =  0Solve for lambda:lambda = 0.5 or lambda = 2.The root lambda  =  0.5 gives y_1(x)  =  c_1 e^(0.5 x) as a solution, where c_1 is an arbitrary constant.The root lambda  =  2. gives y_2(x)  =  c_2 e^(2. x) as a solution, where c_2 is an arbitrary constant.The general solution is the sum of the above solutions:y(x)  =  y_1(x)+y_2(x)  =  c_1 e^(0.5 x)+c_2 e^(2. x)Determine the particular solution to ( d^2 y(x))/( dx^2)+y(x)-2.5 ( dy(x))/( dx) = 0.+e^(-3 x) by the method of undetermined coefficients:The particular solution will be the sum of the particular solutions to ( d^2 y(x))/( dx^2)+y(x)-2.5 ( dy(x))/( dx)  =  0. and ( d^2 y(x))/( dx^2)+y(x)-2.5 ( dy(x))/( dx)  =  e^(-3 x).The particular solution to ( d^2 y(x))/( dx^2)+y(x)-2.5 ( dy(x))/( dx)  =  0. is of the form:y_(p_1)(x) = a_1 x, where a_1 was multiplied by x to account for e^(0.5 x) and e^(2. x) in the complementary solution.The particular solution to ( d^2 y(x))/( dx^2)+y(x)-2.5 ( dy(x))/( dx)  =  e^(-3 x) is of the form:y_(p_2)(x) = a_2/e^(3 x)Sum y_(p_1)(x) and y_(p_2)(x) to obtain y_p(x):y_p(x)  =  y_(p_1)(x)+y_(p_2)(x)  =  a_1 x+a_2/e^(3 x)Solve for the unknown constants a_1 and a_2:Compute ( dy_p(x))/( dx):( dy_p(x))/( dx)  =  ( d)/( dx)(a_1 x+a_2/e^(3 x))  =  a_1-(3 a_2)/e^(3 x)Compute ( d^2 y_p(x))/( dx^2):( d^2 y_p(x))/( dx^2)  =  ( d^2 )/( dx^2)(a_1 x+a_2/e^(3 x))  =  (9 a_2)/e^(3 x)Substitute the particular solution y_p(x) into the differential equation:( d^2 y_p(x))/( dx^2)-2.5 ( dy_p(x))/( dx)+y_p(x)  =  e^(-3 x)+0.(9 a_2)/e^(3 x)-2.5 (a_1-(3 a_2)/e^(3 x))+(a_1 x+a_2/e^(3 x))  =  e^(-3 x)+0.Simplify:-2.5 a_1+(17.5 a_2)/e^(3 x)+a_1 x  =  e^(-3 x)Equate the coefficients of 1 on both sides of the equation:-2.5 a_1  =  0.Equate the coefficients of e^(-3 x) on both sides of the equation:17.5 a_2  =  1Equate the coefficients of x on both sides of the equation:a_1  =  0Solve the system:a_1 = 0.a_2 = 0.0571429Substitute a_1 and a_2 into y_p(x)  =  a_1 x+a_2 e^(-3 x):y_p(x)  =  0.0571429/e^(3 x)+0.The general solution is:Answer: |   | y(x)  =  y_c(x)+y_p(x)  =  0.0571429/e^(3 x)+c_1 e^(0.5 x)+c_2 e^(2. x)+0.

Beantwortet 3 Jun 2013 von Der_Mathecoach Experte LXXXIV
Das hast Du falsch eingegeben.

Nicht e-3x, sondern e^(-3x) ist gefragt.

Man kommt dann auch auf die von elisa vorgegebene Lösung.
0 Punkte

Hi,

Du hast wohl bisher nur die homogene Lösung bestimmt. Also erstmal die rechte Seite als 0 betrachtet.

Nun betrachte den inhomogenen Teil. Rechte Seite Ansatz sei dafür y=ae^(-3x).

Folglich:

y'=-3ae^(-3x)

y''=9ae^(-3x)

 

Einsetzen in DGL:

9ae(-3x)-2,5*(-3ae^(-3x))+ae^(-3x)=e^(-3x) |:e^(-3x) und zusammenfassen

9a+7,5a+a=1

17,5a=1

a=0,0571429

 

Die Lösung der DGL lautet also y = c1 * e2x + c2 * e0,5x + 0,0571429* e-3x

 

Grüße

Beantwortet 3 Jun 2013 von Unknown Experte LXXVI

  Ein anderes Problem?
Stell deine Frage

Nicht das, was du suchst?
Stell deine Frage
anonym + ohne Registrierung

X
...