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Berechnen Sie x nach dem NEWTON-Verfahren: Bsp. x^3 + 3x - 6 = 0

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Näherungsweise Berechnung von Nullstellen:

Die folgende Gleichung hat genau eine Lösung x.

Berechnen Sie x nach dem NEWTON-Verfahren. Brechen Sie das Verfahren ab, wenn sich dir vierte Dezimale nicht mehr ändert; runden sie dann auf drei Dezimalen.

a)  x^3 + 2x - 1 = 0

b) x^3 + 3x - 6 = 0

Könnte mir das jemand mit Lösungsweg bitte rechen? Weil ich muss ein Referat darüber halten und ich verstehe es echt überhaupt nicht. Danke danke danke!

 

Gefragt 12 Apr 2013 von Gast hj222

1 Antwort

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Beste Antwort

Hi,

a) x3 + 2x - 1 = 0

Am besten beginnst Du damit ein Schaubild zu zeichnen, damit Du in etwa die Nullstelle abschätzen kannst. Diese findest Du bei etwa x=0,5, welche nun gleich Dein Startwert werden wird.

 

Für das Newtonverfahren gilt folgende Formel:

xi+1=xi-f(xi)/f'(xi)

D.h. wir müssen vorher noch die Ableitung bestimmen: f'(x)=3x^2+2

 

Nun haben wir alles was wir brauchen. Für das erste i (i=0) wählen wir einen beliebigen Startwert vorzugsweise nahe der Nullstelle. Oben hatte ich ja schon angekündigt, dass meine Wahl auf 0,5 fällt.

 

x1=0,5-f(0,5)/f'(0,5)=0,454545

Das ist nun Dein neuer Wert, den Du einsetzt:

x2=x1-f(x1)/f'(x1)=0,453398

x3=0,453398

Es ändert sich die vierte Dezimalstelle nicht mehr, runden wir also wie gefordert: x=0,453

Das ist unsere Nullstelle.

 

b) Das gleiche nun hier:

x3 + 3x - 6 = 0

Schaubild deutet auf etwa 1,25 hin.

Ableitung f'(x)=3x^2+3

 

Also mit Startwert x0=1,25

x1=1,28861

x2=1,28791

x3=1,28791

Die vierte Dezimalstelle ändert sich nicht mehr: Runden wir wie gefordert -> x=1,288

 

Alles klar?

 

Grüße

Beantwortet 12 Apr 2013 von Unknown Experte XCIX
Vielen vielen Dank! Sehr anschaulich erklärt und ich hab's auch verstanden ;)

aaber ( ich hoffe, du hältst mich jetzt nicht für dumm) wie zeichnet man denn das Schaubild dazu?
Es freut mich, dass Dus verstanden hast :).

 

Das Schaubild bilde mittels einer Wertetabelle. Suche Dir beliebige x-Werte aus und errechne die zugehörigen y-Werte.

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