Wie berechne ich die Eulersche Zahl?

Question

Wir haben uns im Unterricht die Eulersche Zahl e über eine unendliche Reihe angeschaut: e = 1 + 1 / 1 ! + 1 /2 ! + 1/3 ! + 1/4! ...

Wie kommt man auf diese Formel? Wo gibt es einen Zusammenhang mit anderen mathematischen Formeln? Danke! :)

Answer 1

(1 + 1/n)^n

je höhere werte man für n einsetzt, desto exakter wird die eulersche zahl

Comments

Thilo87 hat zwar auch eine Folge angegeben, die irgendwann gegen e geht, aber du meintest offenbar eine andere.

Naja, diese Reihendarstellung von e ist ein bisschen schwierig herzuleiten, wenn man noch nie etwas von höherer Mathematik gehört hat.
Eine mögliche Herangehensweise ist die, eine Funktion konstruieren zu wollen, die sich beim Ableiten immer wieder selbst reproduziert.
Dafür kann man z.B. den Polynomial-Ansatz nehmen:
f(x)=1+x+x^2/2+x^3/(3*2)+...
Man kann sich schnell vergewissern, dass sie tatsächlich die Eigenschaft hat, dass sie sich beim Ableiten reproduziert.
Etwas schwieriger ist zu zeigen, dass sie die typischen Eigenschaften einer Exponentialfunktion erfüllt, also f(x+y)=f(x)*f(y); f(x*y)=f(x)^y und f(0)=1.
Hat man das aber gezeigt, so ist bewiesen, dass die so definierte Funktion isomorph (das heißt gleichförmig) zu einer Exponentialfunktion b^x ist und die Basis der Exponentialfunktion lässt sich über f(1) ermitteln.

Setzt man nun 1 als Funktionswert ein, so ergibt sich tatsächlich
b=1+1+1/2+1/6+...
Und man definiert diesen Ausdruck als Eulersche Zahl.