Question

Darf man auch 0 hoch 0 schreiben? 0⁰ = ?

Answer 1

Du darfst jederzeit 0⁰ schreiben, jedoch kann die Frage nach dem Ergebnis nicht eindeutig beantwortet werden (im Bereich der reellen Zahlen).

Im Folgenden einige Überlegungen zu diesem Problem:

Variante 1

0⁰ = 1 weil für jede Zahl gilt: a⁰ = 1
3⁰ = 1
2⁰ = 1
1⁰ = 1
0⁰ = 1


Variante 2

0⁰ = 0  weil für Null hoch eine Zahl die Null herauskommt: 0ⁿ = 0
0³ = 0*0*0
0² = 0*0
0¹ = 0
0⁰ = 0


Variante 3

0⁰ = nicht definiert
Nicht definiert, weil durch beide Varianten 1 und 2 ein Widerspruch entsteht, also keine Eindeutigkeit vorliegt, was in der Mathematik problematisch ist.
Dies wird übrigens auch der Grund sein, weshalb viele Taschenrechner bei 0⁰ ein "MATH ERROR" bzw. "- E -" ausgeben.


Um es kurz zu machen, man findet häufig die Antwort: Verwende das, was für das vorliegende mathematische Problem sinnvoll ist.
Es ist oft sinnvoll 0⁰ = 1 zu verwenden.

Es gibt dazu diverse Literatur und man trifft wie gesagt auf unterschiedliche Handhabungen. In der Informatik setzt sich zum Beispiel 0⁰ = 1 durch. Das kannst du spaßeshalber selbst testen und in Google 0^0 eingeben.

 

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Ein weiterer Ansatz:

Schreiben wir 0⁰ zu 0⁰⁺⁰ und nutzen das Potenzgesetz, so entsteht:
0⁰ = 0⁰⁺⁰ = 0⁰ * 0⁰

Es muss also gelten: 0⁰ = 0⁰ * 0⁰

Fragt sich also, welche Zahl mit sich selbst multipliziert wieder sich selbst ergibt? Euch fallen sicherlich zwei Zahlen ein, für die das möglich ist:

1 * 1 = 1 und 0 * 0 = 0

Allemein gelöst:
x * x = x
x * x = x |:x
x = 1

So sehen wir, dass hier als Lösung x = 1 herauskommt, doch es gibt eine zweite mögliche Lösungen: x = 0, denn x * x = x gilt auch für 0 * 0 = 0 (auch eine wahre Aussage). Dies kann man übrigens nicht "herleiten", es ist ersichtlich!

Grundsätzlich ist aber 0⁰ = 1 vorzuziehen. Würde man 0⁰ = 0 wählen, tauchen in der höheren Mathematik diverse neue Probleme auf.

 

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Ansatz über Grenzwerte:

Die Folge hat den Grenzwert 1, da a₁=1, a₂=1, ...

Die Folge hat den Grenzwert 1.

Die Folge   hat für jede Nullfolge d_n auch den Grenzwert 1.

Das Vorgenannte ist kein Beweis für die Richtigkeit der Definition, zeigt aber wesentliche Fälle, für die 0⁰ = 1 gilt.


geht übrigens gegen 1, obwohl     und   jeweils gegen 0 gehen.